Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

1. Введение

Представляется соблазнительным попытаться измерить длину кривой с помощью измерительного циркуля, последовательно уменьшая его раствор, или измерить площадь поверхности с помощью все более и более мелкой триангуляции. Для обычных кривых такая процедура дает хороший результат. В то же время известно, что уже для обычных поверхностей (например, для цилиндра) возникают аномалии; основная аномалия проявляется в так называемом парадоксе площадей Шварца, который заслуживает широкой известности и будет обсуждаться ниже. Для самоподобных кривых эта процедура снова приводит к фрактальной размерности. Попытаемся использовать такую процедуру для самоаффинных фракталов и покажем, что размерности, к которым она приводит, отличаются от массовой и клеточной размерностей.

2. Измерение длины самоаффинных фрактальных кривых, являющихся графиками функций

2.1. Измерение длины с использованием «сосиски» Минковского дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с D_ML и D_MG

Следуя Минковскому и Булигану, определим приближенную длину кривой В(
), используя «сосиску» Минковского, содержащую все точки на расстоянии, меньшем чем
, от данной точки кривой. Для обычной спрямляемой кривой и при
<< 1 В(
) = (2
)^-1 (площадь сосиски). Для самоподобной кривой (см. [2], с. 36) B(
)~
^1-D, для самоаффинной кривой площадь сосиски при малых
ведет себя как N(
)
^-2 ~
^H, и поэтому локальная размерность равна 2—Н. Глобальная размерность равна 1. Оба этих значения встречались в части I данной статьи.

2.2. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации последнего выхода кривой дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с D_ML и D_MG

В одном из многих методов нахождения длины спрямляемой кривой используется измерительный циркуль, перемещающийся вдоль кривой. На кривой могут быть узлы, т. е. кратные точки произвольного порядка; достаточно, чтобы точки кривой были упорядочены, например «во времени». Начнем с исходной точки р₀. Первая точка Р₁ будет первым выходом кривой из круга с центром в ро и радиусом
и т. д. Если обозначить через L(
) длину возникающей ломаной линии, приближенно описывающей нашу кривую, то длина кривой будет lim

₀ L(
).

Можно выбрать в качестве P₁ точку последнего, а не первого выхода вдоль кривой. И можно также двигаться назад.

Для самоподобной кривой находим L(
) ~
^1-D, и снова по желанию можно отмечать либо первый, либо последний выход кривой.

Для наших самоаффинных кривых ситуация оказывается совершенно иная. Кроме локальной размерности при

0 имеется также глобальная размерность, которая, как мы увидим, равна 1. И локальная размерность, полученная при помощи измерительного циркуля, имеет два совершенно различных значения, одно для последних, а другое для первых выходов. Прежде чем двигаться дальше, заметим, что для самоподобных функций рассмотрение становится проще (а результаты не меняются), если круг с центром в точке P_k заменить квадратом.

Если воспользоваться этим обстоятельством, то рассмотрение последних выходов становится простым. Покроем нашу кривую (b''^k)^2-H квадратами со стороной (b")^k<<1; это дает D>2—H. Далее добавим кольцо из 8 таких же квадратов вокруг каждой ячейки и тем самым увеличим сторону втрое. Ясно, что (b"^k)^2-H шагов циркуля с раствором 3(b")^-k достаточно, чтобы пройти вдоль кривой, поэтому размерность, полученная с помощью измерительного циркуля, меньше 2—Н. Следовательно, она равна 2-H.

2.3. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации первых выходов дает «аномальные размерности». Локальное значение размерности при малых
равно 1/Н. Эта величина совпадает с фрактальной размерностью фрактального следа, связанного с функцией. Для больших п размерность равна 1

В этом разделе приведены результаты, полученные в работе [I].

При
>> t_с (например, когда единица измерения В_H достаточно мала) график по сути дела близок к горизонтальной линии. При передвижении измерительного циркуля вдоль кривой

он в основном остается параллельным оси t, и L(
) слабо меняется с изменением
. Если считать, что L(
)~
^1-D, тогда то обстоятельство, что L(
) является константой, дает для глобальной размерности значение 1 независимо от Н.

Если, наоборот,
<< t_c (например, когда единица измерения В_H велика), то ситуация оказываетя иной: измеритель, передвигающийся вдоль кривой, в основном остается параллельным оси В. В результате получаем размерность, равную 1/Н.

Это чрезвычайно странное значение может превышать 2 и является аномальным вдвойне: оно противоречит значению 2-Н, которое получалось при других локальных определениях фрактальной размерности. С другой стороны, те, кто знакомы с фрактальным броуновским движением, могут отождествить 1/Н с фрактальной размерностью следа (в некотором E-мерном евклидовом пространстве R^E при Е > 1/Н) движения, для которого координаты Е представляют собой независимые реализации В_н(t).

В этом случае попытка использовать необычный путь для измерения фрактальной размерности для одного множества в действительности заканчивается измерением значения, которое все пути дают для некоторого другого множества.

2.4. Размерности, связанные с покрытием аффинными прямоугольниками

В утом разделе мы хотим связать измерение длины с вопросами, обсуждавшимися в разд. 8, части I статьи. В обоих предельных случаях
>> 1 или
<< 1 число шагов измерителя L(
)/
для всех практических случаев равно числу прямоугольных ячеек высотой
=(b"}^k и шириной (b')^-k, используемых для покрытия фрактала. При обычном определении размерности фрактала выбираются квадратные ячейки, и число ячеек находится как функция их диаметра. Аналогичную формулировку можно применить и для величины Z.(
)/
, если в качестве диаметра прямоугольной ячейки выбрать ее большую сторону. В локальном случае наибольшей стороной является вертикальная, и мы приходим, как и в разд. 2.3, к размерности 1/Н. В глобальном случае наибольшей стороной является горизонтальная, так что размерность равна 1.

3. Измерение длины других самоаффинных кривых, в частности следов движения Пеано

К этому интересному случаю могут быть применены аргументы, аналогичные использованным в разд. 2.3.

Локальное значение. Использование измерительного циркуля раствором (b")^-k << 1 потребует N^k шагов, и поэтому показатель для приближенного значения длины равен log_b"(b"N^-1)=1 -logb"N, так что размерность равна log_b" N. В частности, в случае Пеано N = b'b" и размерность равна 1 + 1/H.

Глобальная размерность. Она равна log_b'N и в случае Пеано принимает значение 1+ Н.

4. Парадокс площадей Шварца

Триангуляция обычных поверхностей оказывается делом гораздо более сложным, чем можно было бы ожидать. В частности, в конце XIX в. Герман Амандус Шварц показал, что для случая цилиндра единичного радиуса и единичной высоты безобидный на первый взгляд метод триангуляции может дать для площади боковой поверхности любую величину: от истинного значения 2
до бесконечности!

Поступим следующим образом: разделим цилиндр по высоте на п слоев плоскостями z=р/п (р—целое число больше нуля) и выделим на окружностях с четным номером уровня точки
= (2q+1)
/m (q—целое), а на окружностях с нечетным номером уровня — точки
= 2q
/m. Соединим каждую точку (z,
) с точками (z
1/n,


/m). Таким образом, боковая поверхность единичного цилиндра приближенно представлена 2mn равными треугольниками. Теперь, чтобы получить истинную площадь, кажется естественным сложить площади этих треугольников и затем произвольным образом независимо устремить n

, m

.

Прямое вычисление показывает, что для больших m эта площадь приближенно равна 2
sqrt( [1 + (
⁴/4)n²/m⁴] ). Если т

, но n/m²
0, то это приближенное выражение действительно сходится к величине 2
. Однако, если т

и п =
m² (
= const > 0), мы получим произвольное конечное значение, превышающее 2
! И мы можем сказать, кроме того, что, выбирая п ~ m
,
> 2, можно добиться, чтобы приближенное значение площади возрастало как произвольная степень либо 1/т, либо 1/п, либо площади треугольника, пропорциональной 1/тп. Цилиндр оказывается похожим на фрактал! Его площадь неограниченно возрастает при таком способе измерения.

Причиной такого поведения является следующее обстоятельство: при переходе к пределу т/п

мы используем треугольники, которые а) становятся все более и более узкими, т. е. имеют хотя бы один угол, стремящийся к нулю, и б) лежат в плоскостях, стремящихся стать перпендикулярно боковой поверхности цилиндра. При этом возникающая поверхность становится все более и более «волнистой» и все больше удаляется от истинной поверхности.

Реакция прагматика была бы следующей — избегать узких треугольников. Ответ математика: «парадокс площадей Шварца» относился к числу проблем, способствовавших .развитию современной математики. В частности, этот парадокс стимулировал Минковского дать корректные определения длины и площади через объемы все более тонких «сосисок» Минковского для кривых и все более тонких «шарфов» Минковского для поверхностей. Эти множества состоят из всех точек внутри
-окрестности некоторой точки кривой или поверхности. Так, Минковский определяет площадь обычной поверхности как

	lim (1/2 ) x (объем -шарфа).
	0

В отличие от треугольников все интервалы подобны друг другу, и поэтому для обычной кривой в плоскости аналога парадокса Шварца не существует. Его не существует также и для самоподобных фрактальных кривых; действительно, в [2] отмечено, что измерения длины с переменной точностью е могут быть проведены многими различными путями, но во всех случаях длина меняется по одному и тому же закону: пропорционально е¹-⁰. Но для самоаффинных кривых, как показано в разд. 2.1—2.3, ситуация более сложная. Здесь длина растет как
^1-D, но D = D_BL при подходе Минковского и D = D_CL > D_BL при использовании измерительного циркуля. Может ли размерность D принимать значения, отличающиеся от этих двух величин?

5. Измерение площади самоаффинных фрактальных поверхностей, полученных из графиков функций

5.1. Площадь фрактального рельефа В_H (х, у), найденная с помощью «шарфа» Минковского

Мы возвращаемся к размерностям D_BL и D_BG.

5.2. Определение площади фрактального рельефа с помощью триангуляции

Выберем квадратные плитки с
х=
у = 1/b. Четыре вершины каждой плитки определяют четыре значения В_H и дают два способа аппроксимации небольшой части поверхности двумя «треугольниками-близнецами». Возьмем среднее из этих двух приближений для каждой ячейки и, кроме того, проведем усреднение по b² ячейкам.

Грубая триангуляция. Если пренебречь деталями с размерами, меньшими чем критическое значение x_c = у_с, то в этом приближении моя броуновская модель рельефа Земли имеет

вполне определенную площадь, ненамного превышающую площадь проекции рельефа на идеализированную плоскость (или сферу).

Эта ситуация резко отличается от той, которая имела место для береговой линии.

Рассмотрим в качестве примера два негауссовских ландшафта (см. [2], вклейка С 13). Они получены из одного и того же гауссовского ландшафта с помощью нелинейных преобразований, в которых предполагалось, что величина t_c очень мала для долины на верхнем рисунке С 13 и для плато на нижнем рисунке С 13, и в то же время величина t_c очень велика для горной цепи на верхнем рисунке С 13 и в каньоне на нижнем рисунке. Далее, я уже указывал в своих лекциях, что хорошие взлетные полосы аэропортов неровны в той же степени, что и Гималаи, только их вертикальный масштаб значительно меньше. Теперь мы видим, что эти количественные различия приводят к качественным эффектам. Прежде всего, как подсказывают обычные наблюдения и здравый смысл, у аэропорта имеется вполне определенная площадь, даже при измерении самой точной линейкой. В Гималаях же обычные фотографии, снятые издалека, показывают, что «средний наклон» порядка
/4. Это в свою очередь показывает, что в области переходного масштаба имеется ряд интересных деталей; поэтому различные измерения площади, полученные с различными линейками, меньшими чем t_c, должны дать кривую, график которой в двойном логарифмическом масштабе будет заведомо отличаться от прямой.

Тонкая триангуляция. В этом случае площадь наверняка может быть произвольно большой, но как быстро она будет расти с уменьшением размера треугольников? Каждый из треугольников-близнецов в ячейке имеет длину ~ b^-Hk и высоту ~b^-k, он очень узкий, и его площадь ~b^-(H+1)k. Полное число треугольников b^2k =
^-2/(H+1) и приближенное значение площади (
) ~
^1-2/(H+1). Это соотношение аналогично выражению для длины кривой L(
) ~
^1-1-H, но здесь аномальная размерность равна 2/(H+1), а не 1/H.

Следующая сетка, которую мы рассмотрим, самоаффинна и включает (b'b'')^k прямоугольников шириной b' ^-k я высотой b" ^-k, причем b' > b". Площадь каждого из треугольников теперь ~ ((b")^-1(b')^1-H)^k, а аномальная размерность равна log(b'b")/log(b"b'^H). Она может принимать значение между 2/(H+1) и 1/H,и это есть фрактальная форма парадокса площадей Шварца.