Разложение некоторых функций в цепные дроби

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Ставропольский Государственный Университет

кафедра математического

анализа

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ.

Работу выполнил студент 5 курса физико-математического факультета,
группы Б, очное отделение Ширяев Е.Ю.

Научные руководители:

Зарудняк Л.В.,

Корнеев П.К.

Ставрополь

1998 г.Введение.

В современной математике приближенное представление функций обычно
разыскивается в виде многочленов от независимых переменных. В тех же
случаях, когда нахождение таких многочленов затруднительно, обычно
применяются различные численные методы.

При этом сравнительно редко пользуются приближениями, являющимися дробно
- рациональными функциями от независимых переменных.

Между тем дробно - рациональные приближения иногда могут успешно
заменять данную функцию в тех областях изменения аргумента, где
разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно,
приближение в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы.

Существуют методы, позволяющие получать сколь угодно много дробно -
рациональных приближений данной функции и требующие сложных выкладок.
Наиболее распространенным из таких методов является метод цепных дробей.

В последнее время интерес к цепным дробям в связи с их большим
теоретическим и практическим значениями.

Так например, цепные дроби являются одним из аппаратов приближения
функций. Они обладают замечательным свойством малого накопления
погрешности при их вычислении.

В настоящее время повышение интереса к теории цепных дробей объясняется
еще и тем, что, несмотря на видимую громоздкость представления, процесс
их вычислений является цикличным и легко поддаётся программированию при
использовании ЭВМ.

Основоположником теории цепных дробей является Леонард Эйлер. Дальнейшие
крупные результаты в этой области получены Ж.Л.Лагранжем, П.Л.Чебышевым,
А.А.Марковым, О.Перроном, Т.И.Стилтьесом, А.Я.Хинчиным.

Значительное развитие теория цепных дробей получила в работах
Н.И.Гаврилова, А.Н.Хованского и других математиков.

В.Я.Скоробогатько и его ученикам мы обязаны появлением ветвящихся цепных
дробей, которые являются естественным обобщением обыкновенных цепных
дробей. Это новое направление в аналитической теории цепных дробей
является весьма перспективным.1. Некоторые сведения из теории цепных
дробей.

1.1. Определение цепной дроби.

Выражение вида

(1)

называется цепной или непрерывной дробью. Для цепной дроби (1)
употребляется также сокращенная запись

сокращать нельзя.

Если цепная дробь (1) содержит конечное число звеньев (например, n, не
считая нулевого), то она называется конечной или n-звенной (так что п -
членная цепная дробь имеет п + 1 звеньев) образом и сокращенно
обозначается следующим образом:

(2)

Конечная цепная дробь отождествляется с соответствующей обыкновенной,
полученной в результате выполнения указанных действий. Цепная дробь (1),
имеющая бесконечное множество звеньев, называется бесконечной, причем
употребляется обозначение

(3)

Всякая конечная цепная дробь представляет собою результат конечного
числа рациональных действий над её элементами; поэтому в наших
предположениях об элементах всякая конечная цепная дробь выражает собой
некоторое вещественное число. Напротив, бесконечной цепной дроби
непосредственно невозможно приписать никакого числового значения; она
представляет собой, по крайней мере вплоть до дальнейших соглашений,
лишь формальную запись, подобно бесконечному ряду, о сходимости которого
не ставится вопроса.

Цепная дробь

(4)

у которой все частные числители равны 1, называется обыкновенной или
стандартной ( простейшей ) цепной дробью. Знаменатели звеньев
называются неполными частными. Заметим, что в теории чисел неполными
частными обычно являются натуральные числа, т. е. целые положительные.

1.2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно.

Всякую конечную цепную дробь можно обратить в обыкновенную. Для этого
достаточно произвести все действия, указанные в изображении цепной
дроби.

Пример 1. Обратить цепную дробь

в обыкновенную.

Решение. Последовательно выполняя указанные действия, находим:

;

.

;

Следовательно,

. Исключив из неё целую часть а0 , будем иметь:

- правильная дробь, то а0 = 0 и r0 = р).

на r0 , получим:

где а1 - целое частное, r1 - остаток от деления q на r0.

на r1, получим:

где а2 - целое частное, r2 - остаток от деления r0 на r1. Аналогично
можно продолжить процесс дальше.

Так как q > r0 > r1 > r2 >r3 > . . . и ri ( i = 0, 1, 2, . . . ) -
целые положительные числа, то в конце концов мы будем иметь остаток rn
= 0, т. е.

, будем иметь:

в цепную дробь

Решение. Последовательно имеем:

.

Аналогично преобразуются общие цaпные дроби.

Пример 3. Обратить цепную дробь

в обыкновенную.

Решение. Имеем:

1.3. Подходящие дроби.

Пусть дана конечная или бесконечная цепная дробь

(1)

Обыкновенную дробь

, называют k-подходящей дробью цепной дроби (1). Следуя Эйлеру, обычно
полагают:

причем для определенности считают, что

P0 = a0, Q0 = 1

и
(2)

P-1 = 1, Q-1 = 0

При работе на ЭВМ подходящие цепные дроби

удобно находить с помощью схемы Горнера для деления

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Указанная последовательность действий легко программируется.

Теорема 1.(Закон составления подходящих дробей). Числа Pk,, Qk
( k= -1, 0, 1, 2,. . .), определяемые из соотношений

(3)

где

P0=a0, Q0=1, P-1=1, Q-1=0 (4)

цепной дроби (1) (такие подходящие дроби будем называть каноническими
).

Замечание. Так как члены подходящих дробей определяются
неоднозначно, то в общем случае нельзя утверждать, что числитель и
знаменатель подходящих дробей неканонического вида удовлетворяют
уравнениям (3). В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые
подходящие дроби являются каноническими.

Следствие. Для обыкновенной цепной дроби

( k = 1, 2, . . . ) могут быть определены из соотношений

(3.1.)

где положено p0 = a0 , p--1 = 1 и q0 = 1, q--1 = 0.

Замечание. Для нахождения по формулам (3) членов последовательных
подходящих дробей удобно применять следующую схему:

k -1 0 1 2 3 . . .

bk

1 b1 b2 b3 . . .

ak

a0 a1 a2 a3 . . .

Pk 1 a0 P1 P2 P3 . . .

Qk 0 1 Q1 Q2 Q3 . . .

Для обыкновенной цепной дроби, где bk = 1 ( k = 1, 2, . . .) и
имеют место формулы (3.1.), в схеме опускают строку bk..

Теорема 2. Для двух соседних подходящих дробей и цепной дроби
(1) справедлива следующая формула

(5)

- две соседние подходящие дроби цепной дроби (1), то

обыкновенной цепной дроби справедливо равенство

(6)

цепной дроби (1) справедливо соотношение

(7)

- две соседние подходящие дроби одинаковой четности для обыкновенной
цепной дроби

,

то имеет место соотношение

(8)

Полученный ряд простых результатов позволяет нам легко сделать
весьма важные заключения о взаимном расположении подходящих дробей
данной цепной дроби. В самом деле, равенство (8) показывает,что
подходящие дроби четных порядков образуют возрастающую
последовательность, а подходящие дроби нечетных порядков - убывающую
последовательность, так что эти две последовательности идут друг другу
навстречу (всё это, разумеется, при условии о положительности всех
элементов, начиная с а1 ). Так как в силу равенства (6) каждая дробь
нечетного порядка больше дроби непосредственно следующего четного
порядка, то , очевидно, и любая подходящая дробь нечетного порядка
должна быть больше любой подходящей дроби четного порядка, и мы приходим
к следующему заключению:

, выражаемое цепной дробью, содержится между двумя соседними подходящими
дробями.

Следствие 1. Если элементы цепной дроби

(9)

- её подходящие дроби, то справедлива оценка

- её последовательные подходящие дроби, то

.

1.4. Бесконечные цепные дроби.

Пусть

(1)

бесконечная цепная дробь. Рассмотрим её отрезок, т. е. конечную цепную
дробь

( п = 1, 2, 3, . . .). (2)

Определение. Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся,
если существует конечный предел

(3)

принимается за значение этой дроби. Если же предел (3) не существует,
то цепная дробь (1) называется расходящейся и ей не приписывается
никакого числового значения.

) такое, что

при n > N и любом m>0.

, то, очевидно, имеем:

(4)

Отсюда

(5)

т. е. сходимость цепной дроби (1) эквивалентна сходимости ряда (5). Если
цепная дробь (1) сходится:

то в силу формул (4) и (5) имеем оценку

Т е о р е м а 1. Если все элементы ak , bk ( k = 0, 1, . . .)
цепной дроби (1) положительны, причем

( k =1, 2, . . .), (6)

то цепная дробь (1) - сходящаяся.

. Следовательно,

Следствие. Обыкновенная цепная дробь с натуральными элементами
всегда сходится.

Можно доказать также следующие теоремы.

- иррациональное число.

Т е о р е м а 3 ( П р и н с г е й м а ) Если для бесконечной
цепной дроби

(7)

выполнены неравенства

( п = 1, 2, . . .) (8)

то эта дробь - сходящаяся, причем абсолютное её значение не превышает
единицы.

.

2. Решение одного уравнения Риккати с помощью цепных дробей.

В математике существует несколько способов разложения функций в
цепные дроби. Один из них связан с составлением и решением
дифференциального уравнения. Суть этого способа состоит в следующем.
Составляется дифференциальное уравнение, решением которого является
заданная функция. При помощи последовательной подстановки

( n = 1, 2, 3, . . .; y0 = y )

находят решение этого уравнения в виде цепной дроби

Для того, чтобы получить цепную дробь с известным общим звеном,
ап выбирают так, чтобы в результате подстановки тип дифференциального
уравнения не менялся. Однако, в большинстве случаев таким способом очень
трудно получить общее звено цепной дроби.

Лагранж предложил следующий способ решения дифференциальных
уравнений с помощью цепных дробей.

.

При решении дифференциальных уравнений по методу Лагранжа далеко
не всегда удаётся найти общий член цепной дроби, являющейся решением
уравнения. Поэтому представляет интерес рассмотреть такое
дифференциальное уравнение, решение которого по метолу Лагранжа
выражается цепной дробью с известным общим членом и из которого
получаются разложения в цепные дроби многих употребительных функций. В
качестве такого уравнения мы возьмём уравнение, решенное Санелевичи по
методу Лагранжа,

(1)

.

Заметим, что почти все уравнения, решения которых были разложены
в цепные дроби Лагранжем и Эйлером, являются частным случаем уравнения

(2)

- постоянные.

. Имеем :

, получим после небольших преобразований

Введем обозначения

Тогда предыдущее уравнение примет вид

(3).

3. Об одном способе разложения функции в присоединенную цепную дробь.

Как известно, одним из основных источников получения дробно -
рациональных приближений функций f ( z ) является разложение их в
правильные с - цепные дроби или присоединенные цепные дроби.

Присоединенные цепные дроби имеют вид:

(1)

(2)

Один из первых и основных методов разложения функций в цепные дроби
состоит в преобразовании соответствующих степенных рядов или их
соотношений в правильную с - цепную дробь. Исследованиями этого метода
занимались Висковатов, Чебышев, Гаусс, Стилтьес, Хайлерманн, Фробениус,
Перрон и другие.

Известно, что сжимая правильную с - цепную дробь

в два раза по формулам сжатия, получим цепные дроби (1) или (2). Однако
не всякую функцию можно разложить в правильную с - цепную дробь. К таким
функциям относятся, в частности, sin z, cos z, arcsin z, arccos z и
другие. Важно отметить следующую замечательную особенность из теории
цепных дробей: «область сходимости присоединенной цепной дроби
значительно больше, чем область сходимости соответствующего степенного
ряда».

Далее приводится один из первых способов разложения функций в
присоединенные цепные дроби (1) и (2) без предварительного их разложения
в степенные ряды и правильные с - цепные дроби. При этом коэффициенты
цепных дробей (1) и (2) вычисляются по рекуррентным формулам, зависящим
от производных.

Этот способ позволяет получить все разложения функций в присоединенную
цепную дробь, найденные ранее методами Лагранжа, Гаусса, Висковатова с
последующим сжатием в два раза.

» была построена интерполяционная цепная дробь

(3)

которая интерполирует данную функцию f ( z ) на любом конечном четном
множестве заранее выбранных различных точек из области существования
этой функции. Очевидно, что если в цепной дроби (3) отбросить последнее
звено, то получим приближенное значение функции f ( z ) в виде
рациональной функции , где Pn ( z ) и Qn ( z ) суть полиномы степени
соответственно n и n-1.

(здесь i = 1, 2, . . .) цепной дроби (3) определяются по известным
формулам или в виде отношения определителей.

,

.

. Тогда из (4) последовательно находим

и т. д.

Отсюда и из (3) имеем

Продолжая этот процесс, на п - м шаге получим

(5)

, находим

(6)

Таким образом, формула (6) позволяет получить разложение в
присоединенную цепную дробь типа (2) для функции f (z) в окрестности
некоторой фиксированной точки а подобно формуле Тейлора в теории
рядов. Если взять интерполяционную цепную дробь

(7)

которая интерполирует данную функцию f ( z ) в различных точках zj c
любым нечетным числом узлов интерполяции, то аналогичным методом получим
другую функциональную формулу, а именно:

(8)

i = 2, 3, . . .

Формула (8) даёт способ разложения в присоединённую цепную дробь
типа (1) для функции f ( z ) в окрестности некоторой фиксированной
точки а.

Пример 1. Разложить функцию f ( z ) =cos( z ) в цепную дробь по
формуле (6) в окрестности точки z = 0.

Получаем

По формуле (6) получим известное разложение

Пример 2.Разложить функцию f ( z ) =sin z в цепную дробь по
формуле (8) в окрестности точки z = 0.

Получаем

Следовательно, используя формулу (8), получаем известное разложение

Таким образом, получен метод разложения функций sin z и cos z в
цепную дробь без предварительного преобразования соответствующих
степенных рядов или их отношений. Кроме того, по формулам (6) и (8)
получаются разложения функций в присоединённые цепные дроби, ранее не
известные. Покажем это на примере.

Пример 3. Разложить функцию f ( z ) = arcsin z в цепную дробь
по формулам (8) в окрестности точки z = 0.

Получаем

По формуле (8) находим

Аналогично можно получить разложение в присоединённую цепную дробь
функции f ( z ) = arccos z и другие. Путём применения формул (6) и (8)
можно получить все известные разложения функций в цепные дроби вида (1)
и (2).

в окрестности точки z = 0. Последовательно находим:

Тогда, подставляя в формулу (6), имеем:

или

с последовательностью подходящих дробей:

Пример 5. Разложить функцию ln (1+z) в окрестности точки z = 0.
Последовательно находим:

Тогда, используя (6), имеем:

или

с последовательностью подходящих дробей

Например, при z = 0.35, получим:

По формуле Тейлора имеем: S5 = 0.30034 ; S9 = 0.300107 , а по таблице
ln(1.35) = 0.300105.

, включенного в D , эта цепная дробь равна соответствующему степенному
ряду.

, то есть равномерно сходится ряд

(9)

являются аналитическими во всей области D. Значит, все члены ряда (9)
будут аналитическими функциями в области D. Отсюда по теореме
Вейерштрасса для функциональных рядов следует, что сумма ряда (9) есть
аналитическая функция, а значит, и цепная дробь (6) будет аналитической
функцией в области D.

включительно совпадает с ним.

из D.

из D.

Теорема доказана.