«  »

Абстрактная теория групп

I.

1. .

, X (* ),

.

.


  1. .

  2. n.
  3. , Z,R,C , . ,

    .
    ,
    .

  4. .

  5. .
  6. .

2. .

1. (*) ,
.

, ( ) . . ,
,
. :
. :
,
.

2. (*) ,

3 4 . ,

3.
(*) X,
. 1-6 , , 0 1 ( !), , . . , ( ) . ,
- ,
. :
.

4. , (*) X .

,
. ,
. . , , . - . x , :
. , , x y ,

. ( , ; !).

() .

G (*). (G ,*) ,

  1. (*) G.
  2. e ( ).
  3. G .

.

  1. .
  2. (Z, +), (R, +), (C, +).

  3. :
    - n, , 1.

3. .

  1. :
    ( ; , ). .
    :


    .
  2. :


    .

  3. :

    .
  4. . . .3.
  5. .
    G
    . ,
    (
    ) . ,
    . .

4. .

.


G K ,

1. j . 2. j :
.

j , G K , .

.

1.



. , , .

2.

.

  1. T
    . 1,2,3,4 , , , , {1,2, 3, 4} , ( 1), 1 1, 2, 3. - . , (, 12 34 ) 1 2 , 3 4. .

  2. R
    .
    . ,
.

. . , .

5. .


,
. ,
,

.

.


,
.

.

.
- .
.
.
.
.

.

  1. .

  2. - .


  3. ..
  4. G -
    - .
    .
    , . g .


  5. - H G. ,
    ,
    ,
    . ,
    ,
    . G ,
. G=H, , ; G Z(G).

.

, , (+) . : g+0=g. (-g). g g+g+...+g , g ng.

6. .

. , , .


.

)

( h)
.

1


  1. L(H,G)=
    G.
  2. :
H L(H,G).

.

  1. ,

    .
    ,
    .
    .
    ,


    .
  2. · Sym(G)
    . ,

    .
    . :




    ;
    ,
    .

  3. . , l . l . :
    . :

    .

.

( G=H ).

:

n
n.



  1. ( h)
.

B.


  1. .

  2. G.

  3. H R(H,G).

B A. ,
. 3
,
.

)

( h )
.

.


  1. G ( G).

  2. G.

.

.


  1. ,
    . :

    .
  2. ,

    . .

. 2.

q .

q . , H ,

.
,

(1) :

. , H. (1) ,
. , H G , q .

7. ; .

, ,
. H L(H,G) G.
G H. , ,
.,
St(g, L(H,G)) ( St(g, R(H,G)) )
, hg=g
. , H , ,
.


G H
G=H, G. .
, Z(H,g) H , h g.

.


- 3. :
=(1,2,3);
=(1,3,2);
=(2,1,3);
=(2,3,1);
=(3,1,2);
=(3,2,1).
. , :


,
,
.

:


,
,
.

2 .

G H:


,
,
,
.

,


,
,
.

.

H G. H G.

.

G :
. ,
, .

. s ( )
.

.

G .

,
,

- H K 1.

8. . .



- .
G H,
.
H.

.

H G, :
.


Hg = gH , , .

.

  1. , .
  2. G , ,
    , , G. , G .


  3. . H

    .

  4. - , Z = Z(H,G) - G , z
    . , Z(G) G - .
  5. H 2 . , 2 : H Hg = G-H = gH.

( ).

H G, ,
.

.

, H HH=H.


, H . G.
.
, . , ( ) . G H G/H. H G.

9 .

- .

.


, ,
:
.

, , , , .

.

  1. , .

  2. .

  3. - ,
    .

  4. - .
    G G/H
    . .

  5. , .

  6. ,
    n-
    (. 3) 4
    .

( )


- ,

- . :


  1. ,
    .

  2. - .

  3. -, ,
    .

.



  1. . :
    .
  2. p = a (h) , q = a (k) .

    . 2.

  3. p = a (h) , q = a (k)
    .

    .

    - .



    .

.



.
.

.

a ,

.


, . ,
,
,
.

.

.


()
,
()
( ):
.

.

p i (. ) j .
.
Hg .
a :
.

.

. j , .
,

. ,
j .


- . :

. ,
.

10 .

G
- .
g ,
. ,
G .

.

Z(g) G g. G = Z(g) , G .

, g G, g.

  1. Z 1.

  2. 2 p ¤ n
    - 2 p ¤ n. n = 1, 2, ...

.

Z. n Z / nZ .

.

G = Z(g) - . ,
- .
j - .
. H = Kerj Ì Z. H - ,
. H , . n - H. nZÌ H. , H n k . k n : k = qn +r , 0 < r < n. r = k - qn Î H , n. , nZ = H .

,
» Z / nZ .

.

, Z nZ , n = 0 ,1 , 2 ,...

.


Z( g ) .

, g ,
- G. n,
Z( g ),
N n . , . , g G n
.

.

G - p,
- .

,
- . 1 p, p. G = Z( g )»
.

.

G - n m - n. HÌ G m. .

.

G» Z / nZ.
HÌ G KÌ Z , Kerp = nZ . , , K Z kZ kZÉ nZ , k - n p (k) - H m = n /k. .

: G n , m n H m, G - .

.

, G N (Z), m N HÌ G m. , , (Z) . .

.

G (Z),

  1. G .
  2. x y , xy = yx.
  3. H m G N m N/m , H (Z).

.

1. HÌ G .

, H. (Z)
H .

2. x p, y q. 1) Z(x) Z(y) . , Z(x)y = yZ(x) xZ(y) = Z(y)x a b
. ,
. , Z(x) Z(y) ,
. ,
xy = yx.

3. (Z) , G K N/m. 1) , H K , . 2) . hk =kh, hÎ H, kÎ K ,
=e . m N/m =
, , G.

K. s m. G S s. s N/m ,

- s. s H , G (Z) G . (S) H.

.


- N . k. k = 1,
. G x
. y .
, u £ s.

(Z) .
, x - G. k. N N = pq (,
) . H K G p q. 3) , , H = Z(x), K = Z(y), xy = yx . xy pq = N , , G.

11. .

.

p, p.

, , g¹ e
, p - , g p. , m - g, p m, m=1 m=p. g.

, ,

.

G/H G p, G.

.


- p. m
.
m p.
- p.

.

p n G. n=p, G» Z/pZ . n
, n p.

  1. G ( ) H , p. H n
    p.
    .
  2. G . p, 1 . p G/H .
  3. G - ,
    . g p, 1, Z(g)Ì G. , , , 2.
  4. , G p, G ( ) . , . G , . G G. G :
    .
    . St(g) g¹ e G, . , St(g) = G, g G gÎ Z(g) = {e}. , p,
    p:
    .
    - p, .

.

p , . ,
4 , , 4.

.

G : m - , G m.

.

n G. n = 2 . < n . p m . G S p. G , S - . G/S K m/p .
,
- G m .

.

. , ,
4, 12, .


?
?
?