Метод наименьших квадратов и его разновидности
. .. ""
"
"
357-
..
..
..
1999
̲Ͳ ²
̲ Ͳ
. . .
" "
" "
""
. ________________
"___'____________199_
___________________________
_____________________________
_____________________ _______________
______________________
_____________________________
: _____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
: _____________________________
______________________
: %
.
().
(, , ).
: ,
, .
_________________
.
.
_____________________
:
;
();
Least Squares Method (LS);
;
Weighted Least Squares, WLS;
;
Two-Stage Least Squares;
;
Three-Stage Least Squares;
-;
;
Moving Averages;
,
(
).
.
,
,
.
( -).
.
( )
,
.
-
.
1 .
.1
:
() ; (1)
,
;
(b)
(2),
(, 1),
;
() ;
,
. , 1 2,
"" "" ,
,
.
. ""
,
,
, ""
.
;
. , ,
( = + b).
,
( + bi):
Q = (ei2 =( (yi-(a+bxi))2( min
(1)
i i ,
- , b -
. Q ,
, .
b (
). ,
,
(), Least Squares Method (LS).
"" ,
.
y=f() , , ( 1(b)),
,
"".
(. 1 ()), ""
= +b ,
. , . 1() 1
(
Q), ,
"" (, 2),
, 1,
.
. , . : = (+(.
, . ,
,
, ,
xi yi i=(+(i+i,. i. -
(, ). :
{xi}, {i}
, Q.
i, (
) ( (.
,
xi i ,
,
. - (, b - (.
:
yi=+bxi+i, i - i.
( ( ,
i (.
(.1)). b.
, b
, i:
1) i ;
2) i : (i) = 0;
3) : D(i) = D(i) = (2 i, j;
4) i . , ,
(2)
, , 1)-4) , ,
, :
1) , ..
: () =(; (b)=(.
, (i) = 0,
.
. , ,
(, b (:
.
3) ,
,
i . BLUE
(Best Linear Unbiased Estimators -
).
i, ,
N(0;y2).
.
, .
3) 4) ,
/ . ,
, -
.
b. , Q = (ei2 =( (yi-(a+bxi))2
, :
(3) (4)
- ). ,
. (3)
(4),
(5) (6)
( r ). ,
,
. a b, ,
yi ( xi ) -
.
, r ,
, . ,
() (),
dx by, r2:
(7)[1]
2 (Weighted Least Squares, WLS)
. -,
,
. -,
, ,
, -
. -, (
) ,
. -,
,
.
.
. -
,
, , ,
,
.
, .. .
,
, ,
, .
,
,
.
i, .. ()
.
.
, -.
. , .
,
, .
i,
(). ,
, , ,
. ,
,
, .
.
. , i ,
( i
,
^.,
, i).
cov(ei, ej) :
cov(ei, ej)=0 i ( j; cov(ei, ej)=S2; -
.
Q, ;
. IVLS
(
), ( ),
.
.
. , c
,
.
,
,
.
,
- , ..
, .
, .
( .)
.
.
. 100.
.
1 ,
, .
-
, . ,
.
.[1]
3
,
, ,
, , -
.
.
, t,
. .
.
.
. , D
. ,
, .
,
. .
(
).
:
(3.1)
a1<0, ..
;
(3.2)
2>0, .. ;
(3.3)
l, 'l\, (l=1,...,n) - ,
.
, ,
.
.
, ..
,
.
.
.
,
.
() ,
( )
. ,
pl, Sl, Dl, a1, a2, b1, b2,
. ,
pl, Sl, Dl, .
Sl Dl (1) (2) (3),
,
a1, a2, b1 b2( ).
-
( , , )
.
,
(, ,
).
, (,
).
, . , ,
:
(3.4)
- , yi - i- .
,
. .
.
. ,
.
, .
TSP, , .
(Two-Stage Least Squares).
(Three-Stage Least Squares),
.
.
. , -
b=(')-1 X'Y, ,
( X),
. ,
, , ,
.
-, .. ,
.
,
,
.
.
.
,
, .
,
.
. ,
, ,
. ,
, , ,
, .
.
.
, ..
.
,
.
.
, .. ,
,
'. ,
.
.[1]
4
,
. f =(,) ( -
, ). ,
: , .
, ,
, -.
.
.
,
.
,
.
: ,
. ,
,
2 ,
. ,
2 ( )
,
.
.
. ,
, .. f(a,x)
, i= i-f(,), - ,
.
(4.1)
. -,
F
, .
, , ,
(
) F. F
,
. , f
.
,
F. -
F
j., ..
Faj = 0,
j =1,..,m.
-2((yi-f(a,xi))*fai'(a,xi) = 0, j = 1,..,m (4.2)
f
j.
( ,
).
,
.
,
, ,
( )
. ,
.
, ,
.
, ,
.[1]
5
,
. ,
--,
. ,
,
. , ,
, i
. ,
i=(ei-1 + ui(( - , |(|<1),
, ui ,
- . (,
'i=i -(yi-1; x'i=xi -(xi-1;^,.(
(AR), -).
i= + bxi + i.
.
b ,
i ,
; - b
, b
.
, ,
.
,
.
. AR(1) AR(s) -
s.
ui,.
. ,
, . -
AR .
,
(MovingAve-rages, ).
, i
i
,
(5.1)
q- , MA(q); (1),
, i = i + (1i-1. (i,
,
.
AR
s q. ,
,
,
( ) .
AR
,
. , ,
/1/?// (Aiitoreg-- ressive Integrated Moving
Averages). :
(5.2)
{(^} {(9^} - , - ,
. *
d ,
RI(,d,q).
6
6.1
,
. ,
,
. ,
,
- ,
.
.
.
.
" "
, .
.
, , ,
.
(" ")
" ".
6.2 (Moving Averages)
, .
, .
.
,
, ,
.
: ,
, .
" ".
, . - ,
. -
, , .. -
, , . ,
,
, , . .
.
,
.
(Daily Bar Chart) , .
6.3
.
1 (. A.1 ).
,
, .
8 .
:
(6.1)
, ..
.
-
.
.
.
2 (. A.1 ).
,
"",
. ,
, - . :
WMA = ((Pi*Wi)/(
Wi i- ;
W=i.
,
.
.
3 (. A.1 ).
" ".
, , ..
. Ÿ
, ,
, (8 ).
:
EMAt = EMAt-1 + (k*(Pt EMA t-1))
t - , t-1 ;
k=2/(n+1); k=2/(8+1)=0,222.
,
.
, .
, ,
, . :
.
6.4 ,
.
.
( - ) ,
.
,
: ,
, . ,
,
, ..
. :
,
.
.
,
(5,8,14,21...).
?
:
, , ,
.
.
,
(. A.2). ,
, ,
.
6.5
,
,
. 5-21
5-13-21. -, -
.
(. A.3 ,):
1. ()
,
() .
.
2. .
,
. ,
6.6
.
.
,
.
1.
,
. ,
50 ; ,
$2.50 (. A. 4).
2. ,
.
3. .
(. A.5)
""
.
,
. (
), .
4. (. A.6)
. - ,
.
, ; -
.
6.7
,
( -
). ,
.
. -
, (. A.7).
: -
.
6.8
, . ,
, ..
.
-, ,
. , -
(MACD), .
.
6.9 .
,
. ,
, .
1. , ,
,
.
2.
( ) .
.
,
. -
.
3.
,
. , , ,
?
, .
, ,
, ,
.[2]
7
, ,
.
.
,
, .
.
.
,
.
8
-
LS - Least Squares Method()
WLS - Weighted Least Squares( )
Two-Stage Least Squares -
Three-Stage Least Squares -
Moving Averages
[1]
9
.. , .. , ..
. .: , 1997.
. .: ,
1996.
.. .
.: , 1962.
.. . .:
, 1979. 394 .